Recherche de racines - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans `\mathbb{C}` l'équation `z^3=1` .

Solution

On note \(r=\left\vert z \right\vert\) et `\theta` un argument de `z` . On a alors :
\(\begin{align*} z^3=1 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l} \left\vert z^3 \right\vert = \left\vert 1 \right\vert \\ \arg(z^3) \equiv \arg(1) \ [2\pi] \end{array} \right. & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l} \left\vert z \right\vert^3 = 1 \\ 3\arg(z) \equiv 0 \ [2\pi] \end{array} \right. \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l} r^3 = 1 \\ 3\theta \equiv 0 \ [2\pi] \end{array} \right. \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l} r=\sqrt[3]{1}=1 \ \ \text{ car } r \in \mathbb{R} \\ \theta \equiv 0 \ \left[\frac{2\pi}{3}\right] \end{array} \right. \end{align*}\)

On en déduit que l'équation `z^3=1` a trois solutions :

• cas `r=1` et `\theta=0`  : `z=1\left(\cos 0 +i\sin 0\right) =1` ;
•   cas `r=1` et  `\theta=\frac{2\pi}{3}` : 
  `z=1\left(\cos \frac{2\pi}{3} +i\sin \frac{2\pi}{3}\right) =1\left(\frac{-1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=j`  ;
•   cas `r=1` et `\theta=\frac{4\pi}{3}` : 
  `z=1\left(\cos \frac{4\pi}{3} +i\sin \frac{4\pi}{3}\right) =1\left(\frac{-1}{2} +i\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) =-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=\overline{j}` .